Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $A$ die Menge der Atome von $B$. Wir betrachten die Abbildung

$B⟶𝔓(A),x⟼\{a\in A\mid a\preccurlyeq x\}.$

Es ergibt sich aus Fakt, dass dies eine Bijektion ist. Dass $0$ auf die leere Menge und $1$ auf die Gesamtmenge geht, ist klar. Wegen der Eindeutigkeit der atomaren Darstellung führt diese Abbildung die $\bigsqcup$-Verknüpfung in die Vereinigung über. Es sei

$x=a_1\bigsqcup \dots \bigsqcup a_n$

und

$y=b_1\bigsqcup \dots \bigsqcup b_m.$

Dann ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz und Fakt  (2)

$x\sqcap y=(a_1\bigsqcup \dots \bigsqcup a_n)\sqcap (b_1\bigsqcup \dots \bigsqcup b_m)=\underset{i,j}{⨆}{a}_i\sqcap b_j=⨆c,$

wobei $c$ durch alle Atome läuft, die sowohl links als auch rechts vorkommen. Daher führt die Abbildung diese $\sqcap$-Verknüpfung in den Durchschnitt über.

Zur bewiesenen Aussage