Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis

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Beweis

Jedes Element ist nur größergleich endlich vielen Atomen, wir führen zum Nachweis der Existenz Induktion über diese Anzahl. Bei nimmt man die leere Vereinigung. Ein Atom wird durch sich selbst dargestellt. Sei ein beliebiges Element. Nach Fakt  (3) gibt es ein Atom . Wir betrachten

Wegen

liegt nicht unterhalb von . Somit liegen unterhalb von weniger Atome als unterhalb von und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Darstellung

und damit

Zur Eindeutigkeit. Sei

Nehmen wir an, dass nicht in der ersten Darstellung vorkommt. Dann ist

nach Fakt  (2). Wenn man aber auf die rechte Seite anwendet, so ergibt sich , ein Widerspruch. Also kommen links und rechts die gleichen Atome vor.