Boolescher Verband/Komplementäregeln/Doppelnegation/Aufgabe/Kommentar

In einem booleschen Verband wissen wir nach Fakt  (1), das zu jedem Element ${}x\in M$ es genau ein Element ${}y\in M$ mit ${}x\sqcap y=0$ und ${}x\sqcup y=1$ gibt, und dieses wird mit ${}\neg x$ bezeichnet. Hier schlägt dann das Prinzip „Gleichheit wegen Eindeutigkeit“ zu, d.h. man zeigt

${}\neg (\neg x)=x\,$

darüber, indem man zeigt, dass ${}x$ diejenige Eigenschaft erfüllt, die für ${}\neg (\neg x)$ charakteristisch ist. Dieses Argumentationsschema wird beispielsweise auch bei Aufgabe verwendet. Also: ${}\neg (\neg x)$ ist dasjenige Element, das die Eigenschaften

${}\neg (\neg x)\sqcap (\neg x)=0\,$

und

${}\neg (\neg x)\sqcup (\neg x)=1\,.$

Es ist aber auch

${}x\sqcap (\neg x)=0\,$

und

${}x\sqcup (\neg x)=1\,.$

Deshalb erfüllen ${}x$ und ${}\neg (\neg x))$ die beiden gleichen Eigenschaften, durch diese Eigenschaften ist aber das Element bereits eindeutig bestimmt. Also ist

${}x=\neg (\neg x))\,.$

Zur kommentierten Aufgabe