Bowle/Zutaten/100/Aufgabe/Lösung

Die Gradienten der beiden Funktionen sind

${}\operatorname {Grad} \,f(x,y,z,w)=(1,1,5,3)\,$

und

${}\operatorname {Grad} \,h(x,y,z,w)=\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)\,.$

Die Lagrange-Bedingung führt auf

${}\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)=\lambda (1,1,5,3)\,.$

Multiplikation der einzelnen Zeilen mit den zugehörigen Variablen führt auf

${}3x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda x\,,$

${}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda y\,,$

${}{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 5z\,$

und

${}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 3w\,.$

Mit dem Ansatz

${}\lambda =cx^{3}yz^{\frac {1}{2}}w\,$

ergibt sich

${}3=cx\,,$

${}1=cy\,,$

${}{\frac {1}{2}}=c5z\,$

und

${}1=c3w\,.$

Die Preisbedingung führt auf

${}100=x+y+5z+3w={\frac {3}{c}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{2c}}+{\frac {1}{c}}\,$

und damit auf

${}c={\frac {3+1+{\frac {1}{2}}+1}{100}}={\frac {\frac {11}{2}}{100}}={\frac {11}{200}}\,.$

Also ist

$x={\frac {600}{11}},\,y={\frac {200}{11}},\,z={\frac {20}{11}}{\text{ und }}w={\frac {200}{33}}.$

Zur gelösten Aufgabe