COVID-19/Mathematische Modellierung/Exponentielles Wachstum

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Graph der Exponentialfunktion (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Wie starten die Lernressource mit einer verbalen Beschreibung eine Wachtumsprozesses und gehen dann auf die mathematische Modellierung durch die Exponentialfunktion ein. Dananch behandeln wie die Grenzen der epidemiologischen Modellierung durch exponentielles Wachstums im Kontext des logistischen Wachstums.

Die Zahl der Neuninfektionen verdoppelt sich alle 4 Tage.

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

  • Erläutern Sie den Unterschied zwischen
    • Anzahl der Infizierten und
    • der Anzahl der Neuinfizierten
mathematisch. Welche Unterschiede ergeben sich daduch aus der Darstellung der Funktion bzw. der Ableitung der Funktion.

Wertetabelle[Bearbeiten]

Zunächst erzeugen wir eine Wertetabelle:

Tag Anzahl der Infizierten Exponentielle Darstellung Neuinfektionen nach 4 Tagen
0 1 -
4 2
8 4
12 8
16 16
20 32
24 64

Wenn man nun in Abhängigkeit vom Tag die Anzahl der Infizierten als eine Funktion darstellen möchte, so kann man diese Funktion wie folgt definieren.

mit,

wobei die Zeitspanne von dem Tag der Erstinfektion beschreibt. Die Funktion interpoliert die Punkte.

Startpopulation[Bearbeiten]

Datenerhebung beginnt ggf. mit einer Startpopulation (z.B. 1000 Personen), dann verändert sich die Tabelle wie folgt.

Tag Anzahl der Infizierten Exponentielle Darstellung Neuinfektionen nach 4 Tagen
0 1000 -
4 2000
8 4000
12 8000
16 16000
20 32000
24 64000

Wenn man nun in Abhängigkeit von der Starpolution in die Funktion integrieren möchte, so kann man diese Funktion wie folgt definieren.

mit,

wobei den Zeitspanne bezeichnet, die seit dem Tag der mathematischen Modellierung mit der gewählten Startpopulation beschreibt. In diesem Zusammenhang macht es ebenfalls inhaltliche Sinn, negative Zahlen für den Zeitpunkt zuzulassen. Z.B. wie viele Infizierte gab es 4 Tage vor dem Referenztag , die Berechnung kann man sich inhaltlich erschließen, denn die Anzahl der Infizierten verdoppelt sich alle 4 Tage und dann muss die Population bei einer Startpopulation von 4 Tage vorher 500 Infizierte gehabt haben. Funktional kann man das wie folgt beschreiben:

mit.

Insgesamt kann man das exponentielle Wachstum damit für die epidemiologische Ausbreitung wie folgt beschreiben:

mit ,

Bei einer allgemeinen Darstellung der textlichen Beschreibung

Die Zahl der Neuninfektionen ver--fach sich alle Tage.

folgende Darstellung durch eine Exponentialfunktion festhalten,

  • mit ,
  • beschreibt die Faktor, mit der sich die Anzahl der Infizierten pro Zeitintervall vervielft.

Neuinfektion und Zahl der Infizierten[Bearbeiten]

Der Begriff "Neuinfektion" bezieht sich aber nicht auf die absolute Anzahl der im Land identifizierten COVID-19-Patienten, sondern die nachgewiesenen Neuinfektionen geben ein Hinweis darauf, wie der Anstieg der Funktion zum Zeitpunkt berechnet werden kann. Daher betrachtet man die Ableitung der Funktionsterms für die Anzahl der Infizierten in einer Population.

Vergleich exponentielles Wachstum - logistisches Wachstum[Bearbeiten]

In der Schule haben Sie vielleicht Kontakt zu exponentielles Wachstum. Epidemiologisch gesehen geht das Modell des exponentiellen Wachstums davon aus, dass es keine Grenzen des Wachstums gibt. Tatsächlich ist für die Epidemiologie das Maximum der infizierten Menschen durch die Gesamtbevölkerung gegeben. Betrachtet man die anderen biologischen Wachstumsprozesse (z.B. cell division), so gibt es auch Grenzen des Wachstums (z.B. Grenzen der Ressourcen, Grenzen des Raumes, ...). Das logistisches Wachstum schließt eine Kapazität in die Modellierung ein. Eine logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine übliche "S"-Form (sigmoid curve), mit der Gleichung:[1]


wobei

  • = die Basis der Exponentialfunktion, die auch als Eulersche Zahl) bekannt ist,
  • = der -Wert des Wendepunkts, der in der Epidemiologie der Zeitpunkt mit der maximalen Wachstumsrate (Maximalwert der Ableitung) ist.
  • = die kleinste obere Schranke der Funktionswerte (Supremum der Menge . Kapazität des logistischen Wachstums der Kurve (die Kapazität des Wachstums), und
  • = die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.[2]

Literatur/Quellen[Bearbeiten]

  1. Wikipedia-Mitwirkende. (2020, 25. Februar). Logistische Funktion. In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Abgerufen um 15:16 Uhr, 16. März 2020, von https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Logistic_function&oldid=942523889
  2. Verhulst, Pierre-François (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF). Correspondance Mathématique et Physique 10: 113–121. URL: https://books.google.com/?id=8GsEAAAAYAAJ - Retrieved 3 December 2014.