COVID-19/Mathematische Modellierung

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Graph der Exponentialfunktion (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1
Standardisiertes logistisches Wachstum mit der dazugehörige Sigmoidfunktion i.e.

Das folgende Lernmodul konzentriert sich auf die Einführung der mathematischen Modellierung.

Exponentielles Wachstum - logistisches Wachstum[Bearbeiten]

In der Schule haben Sie vielleicht Kontakt zu exponentielles Wachstum. Epidemiologisch gesehen geht das Modell des exponentiellen Wachstums davon aus, dass es keine Grenzen des Wachstums gibt. Tatsächlich ist für die Epidemiologie das Maximum der infizierten Menschen durch die Gesamtbevölkerung gegeben. Betrachtet man die anderen biologischen Wachstumsprozesse (z.B. cell division), so gibt es auch Grenzen des Wachstums (z.B. Grenzen der Ressourcen, Grenzen des Raumes, ...). Das logistisches Wachstum schließt eine Kapazität in die Modellierung ein. Eine logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine übliche "S"-Form (sigmoid curve), mit der Gleichung:[1]


wo

  • = die Basis der Exponentialfunktion, die auch als Eulersche Zahl) bekannt ist,
  • = der -Wert des Wendepunkts, der in der Epidemiologie der Zeitpunkt mit der maximalen Wachstumsrate (Maximalwert der Ableitung) ist.
  • = der Maximalwert der Kurve (die Kapazität des Wachstums), und
  • = die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.[2]

Kompartimentmodelle in der Epidemiologie[Bearbeiten]

Mit Compartmental Models eine der verfügbaren Techniken zur Vereinfachung der mathematischen Modellierung von Infektionskrankheiten. Die Population wird in Kompartimente unterteilt, wobei davon ausgegangen wird, dass jedes Individuum im selben Kompartiment die gleichen Merkmale aufweist. Das Merkmal ist z.B. der epidemiologische Status einer Person in der betrachteten Gesamtbevölkerung. Die Personen mit einem bestimmten epidemiologischen Status können ihren Status ändern.

  • Eine für eine Krankheit anfällige Person kann infiziert werden,
  • eine infizierte Person in der Bevölkerung kann immun sein und sich von einer Krankheit erholen,
  • eine infizierte Person könnte den Status der Infizierung behalten und kann bei einem Patienten mit einer chronischen Krankheit betrachtet werden (das Immunsystem bildet keine Antikörper gegen das Virus).
SIR: Blue=Susceptible, Green=Infected, and Red=Recovered

Jedes Mitglied der Bevölkerung entwickelt sich in der Regel von einer infektionsanfälligen zu einer gesunden Bevölkerung. Dies kann als Flussdiagramm dargestellt werden, in dem die Kästchen die verschiedenen Kompartimente und die Pfeile den Übergang zwischen den Kompartimenten darstellen, d.h.

SIR.PNG

Die Anzahl der infizierten Patienten, die Anzahl der immunen Patienten und die Anzahl der empfänglichen Personen in der Gemeinschaft bestimmen die Ausbreitung der Krankheit, da die Ausbreitung der Krankheit von den Kontakten zwischen den Betroffenen abhängt, insbesondere dann, wenn Infizierte auf empfängliche Personen treffen. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass infizierte Menschen auf empfängliche Menschen treffen, abnimmt, verlangsamt sich die epidemiologische Ausbreitung. Die Wahrscheinlichkeit, dass infizierte Menschen mit ansteckungsgefährdeten Menschen in der Gemeinde zusammenkommen, hängt von der Risikokompetenz der Bevölkerung ab, da das Wissen über die Krankheit und staatliche Eingriffe den Kontakt zwischen infizierten und ansteckungsgefährdeten Menschen in der Gesamtbevölkerung beeinflussen können.

Ihr Ursprung liegt im frühen 20. Jahrhundert, wobei ein wichtiges Frühwerk das von Kermack und McKendrick 1927 ist. [3]

Lernaufgaben[Bearbeiten]

Logistische Wachstum in der Epidemiologie als Geogebra-Applet
  • (Vergleich logistische und exponentielle Wachstum) Vergleichen Sie exponentielles Wachstum und logistisches Wachstum und diskutieren Sie, welches Modell für die epidemiologische Ausbreitung der Krankheit besser geeignet ist (siehe auch Geogebra-Applet Athur Lee[4].
  • (Kapazität des logistischen Wachstums)' Versuchen Sie, die Kapazität der epdimiologischen Verbreitung der Krankheit COVID-19 zu ermitteln. Bedenken Sie, dass die Kapazität die Anzahl der Bevölkerung ist, die während der betrachteten Zeitspanne infiziert wird. Wenn die Kapazität geringer ist als die Gesamtbevölkerung (z.B. 60% der Gesamtbevölkerung), konvergiert die Anzahl der Menschen, die mit einem Virus infiziert wurden (und sich erholt haben), zu (d.h. . Wenn die Kapazität größer ist als die Gesamtbevölkerung, dann zeigt die Gesamtzahl der infizierten Personen im Laufe der Zeit ein mehr oder weniger exponentielles Verhalten, bis die epidemiologische Ausbreitung der Krankheit die Gesamtbevölkerung erreicht.
  • (Parameter: Logistisches Wachstum) Analysieren die durch Nutzung des Geogebra Applets Logistical Growth in Epidemiology[5], wie die Parameter <math>x_o, M, k</maath> auf den Verlauf der Funktion bestimmen.
  • (Verringerung epidemiologischer Konnektivität) direkter sozialen Kontakte) Wie wirkt sich die Verringerung der sozialen Kontakte auf die epidemiologische Ausbreitung aus? Erörtern Sie die Rolle der Risikokompetenz in der Bevölkerung, die einen signifikanten Einfluss auf die epidemiologische Verbreitung von COVID-19 hat.
  • (Zoonose) Analysieren Sie den epidemiologischen Begriff einer Zoonose und erweitern Sie die grundlegenden Kompartimentmodelle auf eine Zoonose. Ist der Begriff der Zoonose auf COVID-19 anwendbar?

Siehe auch[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Wikipedia-Mitwirkende. (2020, 25. Februar). Logistische Funktion. In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Abgerufen um 15:16 Uhr, 16. März 2020, von https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Logistic_function&oldid=942523889
  2. Verhulst, Pierre-François (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF). Correspondance Mathématique et Physique 10: 113–121. URL: https://books.google.com/?id=8GsEAAAAYAAJ - Retrieved 3 December 2014.
  3. "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics". Proceedings of the Royal Society A 115 (772): 700–721. August 1, 1927. doi:10.1098/rspa.1927.0118
  4. Athur Lee (2020) Comparison exponential and logistical Growth - Geogebra-Applet - URL: https://www.geogebra.org/m/xeaQ7m8C (accessed 2020/03/20)
  5. Tim Bredzinski, modified by E. Niehaus (2020) Logistical Growth in Epidemiology - Geogebra-Applet - URL: https://www.geogebra.org/m/wtmeqgvf (accessed 2020/03/20)