COVID-19/Mathematische Modellierung/Logistisches Wachstum

Beispiel einer Epidemie: Krankheits- und Todesfälle (schwarz) im Verlauf der Ebolafieber-Epidemie in Westafrika bis Juli 2014 (annähernd logistische Funktion)

Logistische Wachstum in der Epidemiologie als Geogebra-Applet

Vergleich Exponentielles Wachstum - logistisches Wachstum

In der Schule haben Sie vielleicht Kontakt zu exponentielles Wachstum. Epidemiologisch gesehen geht das Modell des exponentiellen Wachstums davon aus, dass es keine Grenzen des Wachstums gibt. Tatsächlich ist für die Epidemiologie das Maximum der infizierten Personen durch die Gesamtbevölkerung gegeben. Betrachten wir die anderen biologischen Wachstumsprozesse (z.B. Zellteilung), so haben wir auch Grenzen des Wachstums (z.B. Grenzen der Ressourcen, Grenzen des Raumes, ...). Das logistisches Wachstum bezieht eine Kapazität in die Modellierung mit ein. Eine logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine übliche "S"-Form (sigmoide S-förmige Kurve), mit der Gleichung:

$f(x)={\frac {M}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$

wo

• $e$ = die Basis der Exponentialfunktion, die auch als Eulersche Zahl bekannt ist,
• $x_{0}$ = der $x$-Wert des Sigmoid-Mittelpunkts, der in der Epidemiologie der Zeitpunkt mit der maximalen Wachstumsrate ist (Maximalwert der Ableitung).
• $M$ = der Maximalwert der Kurve (die Kapazität des Wachstums), und
• $k$ = die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.

Stammfunktion

Die Stammfunktion und Ableitungen ist wie folgt:

${\begin{array}{rrcl}F:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &F(x)=M\cdot \displaystyle \left({\frac {\log \left(1+e^{-k\cdot x\cdot (1-x_{0})}\right)}{k}}+(x-x_{0})\right)\end{array}}$

Berechnung mit Maxima

Die logistische Funktion wird wie folgt in Maxima definiert.

 f(x):= M/(1+exp(-k*(x-x0)));

Nun können wir die Ableitungen und die Stammfunktion in Maxima berechnen. Dabei wird $f$ nach $x$ abgeleitet mit

  integrate(f(x),x)

Stammfunktion als Funktion definieren

Mit dem folgenden Befehl definiert man eine Stammfunktion $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, die man an bestimmte Stellen wieder auswerten kann.

define( F(x) , integrate(f(x),x) )

Die Auswertung der Stammfunktion $F$ an der Stelle $3$ kann dann wie folgt berechnet werden:

F(3)

Ausgabe der Stammfunktion in LaTeX

Wenn man den Funktionsterm der Stammfunktion in LaTeX ausgeben möchte und z.B. die Stammfunktion in Wikiversity nutzen möchte, verwendet man folgenden Befehl

tex( F(x) );

Danach steht der kopierbare LaTeX-Code der Formel zwischen den doppelten Dollarzeichen.

Ableitung

Die Ableitungen der logistischen Wachstumsfunktion kann man wie folgt berechnen:

${\begin{array}{rrcl}f':&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\displaystyle f'(x)={\frac {M\cdot k\cdot e^{-k(x-x_{0})}}{\left(1+e^{-k\cdot (x-x_{0})}\right)^{2}}}\end{array}}$

Berechnung mit Maxima

Die logistische Funktion wird wie folgt in Maxima definiert.

f(x):= M/(1+exp(-k*(x-x0)));

Nun können wir die Ableitungen und die Stammfunktion in Maxima berechnen. Dabei wird $f$ nach $x$ abgeleitet mit

diff(f(x),x)

Definition der Ableitung als Funktion

Die Ableitung der logistischen Funktion wird wie folgt in Maxima definiert:

define( df(x) , diff(f(x),x) )

Danach kann man die Ableitung wie folgt an eine bestimmten Stelle auswerten:

df(3)

LaTeX-Ausgabe von Termen in Maxima

Den LaTeX-Code für Terme in Wikiversity kann man sich mit tex() in Maxima ausgeben lassen, damit man die Formel nicht explizit

tex( M/(1+exp(-k*(x-x0))) );

Dann steht der kopierbare LaTeX-Code der Formel zwischen den Dollarzeichen.

$$ \frac{M}{1+e^{- k\cdot (x-x_0)}} $$

Die erzeugte Formel hat folgende Darstellung:

${\frac {M}{1+e^{-k\cdot (x-x_{0})}}}$

Siehe auch

• Formelsammlung Mathematik: Maxima
• COVID-19
• Logistisches Wachstum
• Populationsmodelle mit beschränktem Wachstum
• Maxima CAS