C X/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Polynom in X^n/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $F\in ℂ[X^n]$. Dann schreiben wir $F=\sum _{i=0}^k{a}_i(X^n{)}^i$. Für $z\in {\mu }_n$ ist somit

$F(zX)=\sum _{i=0}^k{a}_i((zX{)}^n{)}^i=\sum _{i=0}^k{a}_i(z^n{X}^n{)}^i=\sum _{i=0}^k{a}_i(X^n{)}^i=F(X).$

Für die Umkehrung sei

$F=\sum _{i=0}^k{c}_i{X}^i.$

Es sei $z$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als $z^j$, $j=0,\dots ,n-1$, schreiben kann. Es ist

$\begin{array}{cc}nF(X)& =\sum _{j=0}^{n-1}F(z^{j}X)\\ & =\sum _{j=0}^{n-1}(\sum _{i=0}^k{c}_i(z^j{)}^i{X}^i)\\ & =\sum _{i=0}^k(c_i\sum _{j=0}^{n-1}(z^i{)}^j)X^i.\end{array}$

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu $X^i$, wenn $i$ kein Vielfaches von $n$ ist, gleich $0$ sind. Dies gilt dann auch für $F$.

Es sei also $i$ kein Vielfaches von $n$. Da $z$ primitiv ist, ist $w=z^i$ eine $n$-te Einheitswurzel, aber nicht $1$. Wegen der Faktorisierung

$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +X+1)$

ist daher $\sum _{j=0}^{n-1}{w}^j=0$.

Zur gelösten Aufgabe