C ohne Nullpunkt/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Fundamentalgruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion, die wir als Funktion ${}U\rightarrow U$ auffassen. Es sei ${}\delta$ die Standardumrundung um den Nullpunkt und sei ${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ die Windungszahl von ${}f\circ \delta$ um den Nullpunkt. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} ,$

durch ${}n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ gegeben ist.

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