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Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Fokus auf Funktionentheorie/Einführung/Textabschnitt

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Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Menge und eine messbare -wertige Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral von längs .

Dabei ist der Rückzug der Differentialform auf das reelle Intervall , der die Gestalt mit einer messbaren Abbildung

besitzt. Integriert wird dann die Abbildung über die Komponenten. Wichtig sind insbesondere stetige Differentialformen. Wenn der Weg nur stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, so definiert man das Wegintegral als Summe der Wegintegrale zu den stetig differenzierbaren Teilwegen. Für sind hauptsächlich die Fälle oder relevant. Die Differentialformen werden zumeist stetig und nicht nur messbar sein.

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige -Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.


Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei eine reellwertige -Form auf offen in einem endlichdimensionalen -Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Fakt als

gegeben, wobei die messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen . Die Ableitung in einem Punkt wird dann nach Fakt durch den Vektor beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform hat dann im Punkt in Richtung den Wert

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In wird also durch und durch ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare -Form auf bzw. eine messbare Funktion von nach , die man integrieren kann.


In der Situation von Bemerkung sei und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen und mit . Die Differentialform kann man in der Form

schreiben. Mit

ist für den Integranden

Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von Bemerkung oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.



Wir betrachten die holomorphe Differentialform und den Weg

Es ist und somit ist



Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform auf . Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung

ist


Den trigonometrisch parametrisierten (einfachen) Kreisweg (egal, ob mit oder mit als Definitionsintervall) nennen wir auch die Standardumrundung um den Punkt mit Radius .



Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und seien stetige Differentialformen auf mit Werten in . Es sei

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für ist
  2. Es ist

    wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

  3. Wenn

    ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist

    wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige -Differentialform auf . Es sei eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen -Vektorraum und

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.

Dann ist

Wir können davon ausgehen, dass stetig differenzierbar ist. Dann ergibt sich die Aussage unter Verwendung von Fakt direkt aus



Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Menge und eine messbare -wertige Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei .

Dann gilt

Wegen Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass eine Differentialform auf ist, also . Durch Betrachten der Komponentenfunktionen (siehe Aufgabe) können wir weiter davon ausgehen, dass ist. Die Aussage folgt somit aus der Substitutionsregel.



Es seien endlichdimensionale normierte -Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige stetige -Differentialform auf . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg und sei eine obere Schranke für auf .

Dann gilt die Abschätzung

Beweis

Siehe Aufgabe.