Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Fokus auf Funktionentheorie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ eine messbare ${}W$-wertige Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Dabei ist ${}\gamma ^{*}\omega$ der Rückzug der Differentialform ${}\omega$ auf das reelle Intervall ${}[a,b]$, der die Gestalt ${}g(t)dt$ mit einer messbaren Abbildung

$g\colon [a,b]\longrightarrow W$

besitzt. Integriert wird dann die Abbildung ${}g$ über die Komponenten. Wichtig sind insbesondere stetige Differentialformen. Wenn der Weg nur stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, so definiert man das Wegintegral als Summe der Wegintegrale zu den stetig differenzierbaren Teilwegen. Für ${}W$ sind hauptsächlich die Fälle ${}W=\mathbb {R}$ oder ${}W={\mathbb {C} }$ relevant. Die Differentialformen werden zumeist stetig und nicht nur messbar sein.

Bemerkung  

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige ${}1$-Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.

Bemerkung  

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine reellwertige ${}1$-Form auf ${}G\subseteq V$ offen in einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Fakt als

${}\omega =f_{1}dx_{1}+\cdots +f_{n}dx_{n}\,$

gegeben, wobei die ${}f_{j}\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

${}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(f_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +f_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}f_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$-Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}{\mathbb {K} }$, die man integrieren kann.

Bemerkung  

In der Situation von Bemerkung sei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit ${}z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }$. Die Differentialform kann man in der Form

${}{\begin{aligned}\omega &=f_{1}dz_{1}+\cdots +f_{n}dz_{n}\\&={\left(g_{1}+h_{1}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{1}+y_{1}{\mathrm {i} }\right)}+\cdots +{\left(g_{n}+h_{n}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{n}+y_{n}{\mathrm {i} }\right)}\\&={\left(g_{1}dx_{1}-h_{1}dy_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}-h_{n}dy_{n}\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}dy_{1}+h_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dy_{n}+h_{n}dx_{n}\right)}\end{aligned}}$

schreiben. Mit

${}\gamma _{j}=\alpha _{j}+{\mathrm {i} }\beta _{j}\,$

ist für den Integranden

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t)\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))+h_{1}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha _{1}'(t)+{\mathrm {i} }\beta _{1}'(t)\right)}+\cdots +{\left(g_{n}(\gamma (t))+h_{n}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha '_{n}(t)+{\mathrm {i} }\beta '_{n}(t)\right)}\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)-h_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)-h_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+h_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)+h_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)\right)}.\,\end{aligned}}$

Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von Bemerkung oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.

Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${}z^{2}dz$ und den Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t^{2}-t{\mathrm {i} }.$

Es ist ${}\gamma '(t)=2t-{\mathrm {i} }$ und somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=\int _{0}^{1}(\gamma (t))^{2}\cdot \gamma '(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{2}-t{\mathrm {i} }\right)}^{2}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{2}-2{\mathrm {i} }t^{3}\right)}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-2t^{3}-2t^{3}+{\left(-t^{4}+t^{2}-4t^{4}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-4t^{3}+{\left(-5t^{4}+t^{2}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{6}-t^{4}\right)|_{0}^{1}+{\mathrm {i} }\left(-t^{5}+{\frac {1}{3}}t^{3}\right)|_{0}^{1}\\&=-{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$

ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\cos t+{\mathrm {i} }\sin t}}{\left(-\sin t+{\mathrm {i} }\cos t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }{\left(\cos t-{\mathrm {i} }\sin t\right)}{\left(\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t+\sin ^{2}tdt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi {\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Den trigonometrisch parametrisierten (einfachen) Kreisweg (egal, ob mit ${}[0,1]$ oder mit ${}[0,2\pi ]$ als Definitionsintervall) nennen wir auch die Standardumrundung um den Punkt ${}P$ mit Radius ${}r$.

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien ${}\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für ${}r,s\in {\mathbb {K} }$ ist

   ${}\int _{\gamma }r\omega +s\tau =r\int _{\gamma }\omega +s\int _{\gamma }\tau \,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }\omega =-\int _{\gamma }\omega \,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\delta }\omega \,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon U'\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Beweis

Wir können davon ausgehen, dass ${}\gamma$ stetig differenzierbar ist. Dann ergibt sich die Aussage unter Verwendung von Fakt direkt aus

${}\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(\varphi \circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega \,.$

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ eine messbare ${}W$-wertige Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

$g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.

Dann gilt

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\tilde {\gamma }}\omega \,.$

Beweis

Wegen Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass ${}\omega$ eine Differentialform auf ${}[a,b]$ ist, also ${}\omega =gdt$. Durch Betrachten der Komponentenfunktionen (siehe Aufgabe) können wir weiter davon ausgehen, dass ${}W=\mathbb {R}$ ist. Die Aussage folgt somit aus der Substitutionsregel.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei ${}B$ eine obere Schranke für ${}\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf ${}\gamma ([a,b])$.

Dann gilt die Abschätzung

${}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$