Cardanosche Formel/Beschreibung mit Körperkette/Gradbetrachtung/Aufgabe

Es sei ${}X^{3}+pX+q\in \mathbb {Q} [X]$ und es seien ${}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L\subseteq M\,$

von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass ${}M$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

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