Charaktergruppe/Evaluierungseigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von ${}D$ in das Doppeldual ${}(D^{\vee })^{\vee }$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${}D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus

ist.

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