Charaktergruppe/Funktorialitätseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Ein Charakter ${}\chi \in D_{2}^{\vee }$ ist ein Gruppenhomomorphismus

   $D_{2}\longrightarrow K^{\times },$

   daher ist die Verknüpfung

   $\chi \circ \varphi \colon D_{1}\longrightarrow K^{\times }$

   ein Element aus ${}D_{1}^{\vee }$, die Abbildung ist also wohldefiniert. Zu zwei Charakteren ${}\chi _{1},\chi _{2}\in D_{2}^{\vee }$ und einem beliebigen Element ${}d\in D_{1}$ ist

   ${}{\begin{aligned}((\chi _{1}\cdot \chi _{2})\circ \varphi )(d)&=(\chi _{1}\cdot \chi _{2})(\varphi (d))\\&=\chi _{1}(\varphi (d))\cdot \chi _{2}(\varphi (d))\\&=((\chi _{1}\circ \varphi )(d))\cdot ((\chi _{2}\circ \varphi )(d))\\&=((\chi _{1}\circ \varphi )\cdot (\chi _{2}\circ \varphi ))(d).\end{aligned}}$

   Also ist

   ${}\varphi ^{\vee }(\chi _{1}\cdot \chi _{2})=(\chi _{1}\cdot \chi _{2})\circ \varphi =(\chi _{1}\circ \varphi )\cdot (\chi _{2}\circ \varphi )=\varphi ^{\vee }(\chi _{1})\cdot \varphi ^{\vee }(\chi _{2})\,$

   und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Dies ergibt sich für ${}\chi \in D_{3}^{\vee }$ direkt aus

   ${}(\psi \circ \varphi )^{\vee }(\chi )=\chi \circ (\psi \circ \varphi )=(\chi \circ \psi )\circ \varphi =\varphi ^{\vee }(\chi \circ \psi )=\varphi ^{\vee }(\psi ^{\vee }(\chi ))=(\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee })(\chi )\,.$

Zur gelösten Aufgabe