Charakteristisches Polynom/R/Von Potenz/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über arbeiten. Über ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir

Das charakteristische Polynom hat somit die Form

Die -te Potenz dieser Matrix hat die Form

Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich

Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.