Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a,b)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}^{2},$

die minimiert werden soll. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial a}}=\sum _{i=1}^{n}2x_{i}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}\,$

und

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial b}}=\sum _{i=1}^{n}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}\,.$

Wir setzen beiden Terme gleich ${}0$. Aus der zweiten Bedingung ergibt sich

${}nb=\sum _{i=1}^{n}y_{i}-a\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,,$

also

${}b={\bar {y}}-a{\bar {x}}\,.$

Dies in die erste Bedingung eingesetzt ergibt

${}0=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left(ax_{i}-a{\bar {x}}+{\bar {y}}-y_{i}\right)}=a\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left({\bar {y}}-y_{i}\right)}\,.$

Wir addieren den Nullterm ${}-a{\bar {x}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}-{\bar {y}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}$ hinzu und erhalten

${}0=a\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}-\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}y_{i}\,.$

Also ist

${}a={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage