Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition

Partiell differenzierbar in einem Punkt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

gegeben. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

$I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

(wobei ${}I$ ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$, ${}k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {K} }$ ist) mit

${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$

und nennt sie die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$.

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$, falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$

bezeichnet.