Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe/Lösung

1. Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen.
2. Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt.
3. Es gibt vermutlich in ${}E$ Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß (oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund).
4. Es sei  ${}m\in \left(W_{2}\right)^{\perp }$.  Dies bedeutet, dass ${}m$ eine Person ist, die alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ erfüllt. Dann erfüllt ${}m$ erst recht alle Eigenschaften aus der Teilmenge ${}W_{1}$, also gilt  ${}m\in \left(W_{1}\right)^{\perp }$. 
5. Es sei  ${}e\in W$.  Die Menge ${}W^{\perp }$ besteht aus allen Personen, die alle Eigenschaften aus ${}W$ besitzen. Diese Personenmenge besitzt insbesondere die Eigenschaft ${}e$, daher ist  ${}e\in \left(W^{\perp }\right)^{\perp }$. 
6. Wegen  ${}W_{1}\subseteq W_{1}\cup W_{2}$  gilt nach Teil (4)

   ${}\left(W_{1}\cup W_{2}\right)^{\perp }\subseteq W_{1}^{\perp }\,$

   und entsprechend für ${}W_{2}$. Dies ergibt die Inklusion  ${}\left(W_{1}\cup W_{2}\right)^{\perp }\subseteq W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$.  Es sei nun  ${}m\in W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$.  Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}$ und alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ besitzt. Also besitzt ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}\cup W_{2}$, also  ${}m\in \left(W_{1}\cup W_{2}\right)^{\perp }$. 

7. Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise ${}E$ disjunkt zerlegt in ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ sein. Dann ist  ${}W_{1}\cap W_{2}=\emptyset$  und  ${}\emptyset ^{\perp }=M$.  Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in ${}W_{1}$ als auch in ${}W_{2}$ widersprüchliche Eigenschaften gibt, sodass

   ${}\left(W_{1}\right)^{\perp }=\emptyset =\left(W_{2}\right)^{\perp }\,$

   gilt.

8. Das gilt. Nach (4) ist  ${}W\subseteq \left(W^{\perp }\right)^{\perp }$,  woraus mit (5) die Inklusion

   ${}\left(\left(W^{\perp }\right)^{\perp }\right)^{\perp }\subseteq W^{\perp }\,.$

   Die zu (4) analoge Eigenschaft gilt auch für Teilmengen  ${}T\subseteq M$.  Angewendet auf  ${}T=W^{\perp }$,  ergibt sich

   ${}W^{\perp }\subseteq \left(\left(W^{\perp }\right)^{\perp }\right)^{\perp }\,.$

Zur gelösten Aufgabe