Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir beweisen die Aussage

    für alle durch Induktion über . Bei

    ist

    da andernfalls das Startelement ein Nachfolger wäre. Sei die Aussage für ein bestimmtes schon bekannt (bewiesen), d.h. es ist

    Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus

    was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle .

  2. Wir schreiben abkürzend für den -ten Nachfolger, dort stehen also Nachfolgerstriche, und wegen mindestens einer. Wir beweisen die Aussage

    für alle durch Induktion über . Bei

    ist

    da andernfalls das Startelement ein Nachfolger wäre, nämlich von , wenn der Vorgänger von ist. Sei die Aussage nun für ein bestimmtes schon bekannt, d.h. es ist

    Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus

    Die erste Zahl ist dabei gleich , da man einmal mehr als -mal den Nachfolger nimmt. Wir erhalten also

    was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle .

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