Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe/Lösung

1. Wir beweisen die Aussage

   ${}x^{\prime }\neq x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}x$. Bei

   ${}x=0\,$

   ist

   ${}0'\neq 0\,,$

   da andernfalls das Startelement ${}0$ ein Nachfolger wäre. Es sei die Aussage für ein bestimmtes ${}x$ schon bekannt (bewiesen), d.h. es ist

   ${}x^{\prime }\neq x\,.$

   Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus

   ${}(x^{\prime })^{\prime }\neq x^{\prime }\,,$

   was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle ${}x$.

2. Wir schreiben abkürzend ${}x^{n\prime }$ für den ${}n$-ten Nachfolger, dort stehen also ${}n$ Nachfolgerstriche, und wegen ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mindestens einer. Wir beweisen die Aussage

   ${}x^{n\prime }\neq x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}x$. Bei

   ${}x=0\,$

   ist

   ${}0^{n\prime }\neq 0\,,$

   da andernfalls das Startelement ${}0$ ein Nachfolger wäre, nämlich von ${}0^{m\prime }$, wenn ${}m$ der Vorgänger von ${}n$ ist. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes ${}x$ schon bekannt, d.h. es ist

   ${}x^{n\prime }\neq x\,.$

   Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus

   ${}(x^{n\prime })^{\prime }\neq x^{\prime }\,.$

   Die erste Zahl ist dabei gleich ${}(x^{\prime })^{n\prime }$, da man einmal mehr als ${}n$-mal den Nachfolger nimmt. Wir erhalten also

   ${}(x^{\prime })^{n\prime }\neq x^{\prime }\,,$

   was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle ${}x$.

Zur gelösten Aufgabe