Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe

Begründe aus den Dedekind-Peano-Axiomen die folgenden Eigenschaften.

1. Für die Nachfolgerabbildung gilt

   ${}x^{\prime }\neq x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N}$.

2. Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert und sei

   $\varphi _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

   die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung der Nachfolgerabbildung. Zeige

   ${}\varphi (x)\neq x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N}$.

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