Dedekindbereich/Divisoren und Hauptdivisoren/Erste Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element $q\in Q(R)$, $q\ne 0$, den Hauptdivisor $\mathrm{div}\left(q\right)$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  $\mathrm{div}\left(q_1{q}_2\right)=\mathrm{div}\left(q_1\right)+\mathrm{div}\left(q_2\right)$. 
2. Es ist  $\mathrm{div}(q_1+q_2)\ge min\{\mathrm{div}\left(q_1\right),\mathrm{div}\left(q_2\right)\}$. 

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

$Q(R)\setminus \{0\}⟶\mathrm{Div}\left(R\right)$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

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