Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $𝔮$ und ${𝔮}^{\prime }$ Primideale oberhalb von $𝔭$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus  $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$  mit  $\sigma (𝔮)={𝔮}^{\prime }$.  Daher gibt es einen $R_{𝔭}$-Algebraisomorphismus $\sigma :S_{𝔮}\to S_{{𝔮}^{\prime }}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen $\kappa (𝔭)$-Isomorphismus der Restekörper

$\kappa (𝔮)⟶\kappa ({𝔮}^{\prime }),$

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.

Zur bewiesenen Aussage