Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt

Fundamentale Gleichung für Dedekindbereichserweiterungen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$ mit der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

in ${}S$. Die Körpererweiterungen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$ haben die Trägheitsgrade ${}f_{j}$.

Dann ist

${}n=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen