Dedekindbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement ${}\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

2. ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$

3. Es ist ${}f$ genau dann eine Einheit, wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=0$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen