Dedekindbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq {\min {\left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\right)}}$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen