Dedekindscher Schnitt/Punktschnitt/Bemerkung

Die Mengen ${}A$ bzw. ${}B$ heißen auch die Untermenge bzw. Obermenge des Dedekindschen Schnittes. Sie legen sich wegen der Bedingung (2) gegenseitig fest. Jede reelle Zahl ${}z\in \mathbb {R}$ (und auch jedes Element in einem angeordneten Körper) definiert einen Dedekindschen Schnitt, indem man

${}A:={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<z\right\}}\,$

und

${}B:={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\geq z\right\}}\,$

setzt. Die Eigenschaften sind erfüllt, wie eine direkte Überprüfung zeigt. Man spricht von einem Punktschnitt. Ob ein Dedekindscher Schnitt ein Punktschnitt ist, hängt wesentlich vom Körper ab. Der durch ${}{\sqrt {5}}$ definierte Dedekindsche Schnitt ist in ${}\mathbb {R}$ ein Punktschnitt, in ${}\mathbb {Q}$ aber nicht.