Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die ${}1$ sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)

${}(u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n})=\lambda (v_{1},\ldots ,v_{i},1,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\,$

sofort ${}\lambda =1$ wegen der ${}1$ folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Das Komplement zu ${}D_{+}(X_{i})$ ist

${}V_{+}(X_{i})={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1},\ldots ,x_{n})\mid x_{j}\in K,\,x_{j}\neq 0{\text{ für ein }}j\right\}}\,$

mit keinerlei weiteren Einschränkung an die übrigen ${}n$ Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.

Zur bewiesenen Aussage