Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei ${\mathbb{P}}_K^n$ ein projektiver Raum. Es sei  $i\in \{0,1,\dots ,n\}$  fixiert.

Dann gibt es eine natürliche Abbildung

${\phi }_i:{𝔸}_K^n⟶{\mathbb{P}}_K^n,(u_1,\dots ,u_n)⟼(u_1,\dots ,u_i,1,u_{i+1},\dots ,u_n).$

Diese Abbildung ist injektiv und induziert eine Bijektion zu denjenigen Punkten des projektiven Raumes, bei denen die $i$-te homogene Koordinate nicht $0$ ist. Die Umkehrabbildung wird durch

${\mathbb{P}}_K^n\supset D_{+}\left(X_i\right):=\{(x_0,x_1,\dots ,x_n)\mid x_i\ne 0\}⟶{𝔸}_K^n,(x_0,x_1,\dots ,x_n)⟼(\frac{x_0}{x_i},\frac{x_1}{x_i},\dots ,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots ,\frac{x_n}{x_i}),$

gegeben.

Der projektive Raum wird überdeckt von diesen $n+1$ affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes  ${𝔸}_K^n\cong D_{+}\left(X_i\right)\subset {\mathbb{P}}_K^n$  ist ein $(n-1)$-dimensionaler projektiver Raum.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen