Derivationen/Verknüpfung/Produktauswertung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion nach der Anzahl ${}n$ der Derivationen. Für ${}n=1$ ist nach der Produktregel

${}{\begin{aligned}\delta (g_{1}\cdots g_{m})&=\sum _{i=1}^{m}\delta (g_{i})\prod _{j\neq i}g_{j}\\&=\sum _{\{1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m}),\end{aligned}}$

da in einer geordneten Zerlegung einer einelementigen Menge genau eine Teilmenge einelementig ist. Die Aussage sei nun für eine kleinere Anzahl an Derivationen bereits bewiesen. Dann ist nach der Induktionsvoraussetzung und dem Fall einer Derivation

${}{\begin{aligned}{\left(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})&=\delta _{n}{\left(\delta _{n-1}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})\\&=\delta _{n}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{n}{\left(\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}{\left(\delta _{A_{1}\cup \{n\}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})+\cdots +\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}\cup \{n\}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{m}}\delta _{B_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{B_{m}}(g_{m}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage