Derivationen/Verknüpfung/Produktauswertung/Fakt

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und seien ${}\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Derivationen. Es seien ${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in R$. Zu einer Teilmenge ${}A\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ mit ${}A=\{{i_{1}},\ldots ,{i_{k}}\}$ der Anzahl ${}k$ sei

${}\delta _{A}(g)=\delta _{i_{k}}\circ \cdots \circ \delta _{i_{1}}(g)\,$

in der gegebenen Reihenfolge.

Dann gilt für die Hintereinanderschaltung ${}\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ die Beziehung

${}{\left(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\,,$

wobei sich die Summe über alle geordneten Partitionen erstreckt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen