Determinante/2x2/Extremaleigenschaften/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge ${}x,y,z,w$.

1. Die Jacobi-Matrix ist

   $(w,-z,-y,x).$

   Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt.

2. Die Hesse-Matrix ist (in jedem Punkt) gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

   Diese hat die linear unabhängigen Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert ${}1$ und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert ${}-1$. Deshalb hat die Hasse-Matrix den Typ ${}(2,-2)$. Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum.

3. Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen ${}w=x$ und ${}z=-y$ gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form

   ${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.$

   Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch ${}x^{2}+y^{2}$ gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum.

Zur gelösten Aufgabe