Determinante/2x2/Extremaleigenschaften/Aufgabe/Lösung

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Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge .

  1. Die Jacobi-Matrix ist

    Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt.

  2. Die Hesse-Matrix ist (in jedem Punkt) gleich

    Diese hat die linear unabhängigen Eigenvektoren und zum Eigenwert und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren und zum Eigenwert . Deshalb hat die Hasse-Matrix den Typ . Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum.

  3. Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen und gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form

    Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum.