Determinante/Körper/Rekursiv/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.


Beispiel  

Für eine -Matrix

ist


Als Merkregel für eine -Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.


Beispiel  

Für eine -Matrix ist

Dies nennt man die Regel von Sarrus.




Lemma  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix .

Beweis  

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.