Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
Körper und sei
M
=
(
a
i
j
)
i
j
{\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}}
eine
n
×
n
{\displaystyle {}n\times n}
-Matrix
über
K
{\displaystyle {}K}
. Zu
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle {}i\in {\{1,\ldots ,n\}}}
sei
M
i
{\displaystyle {}M_{i}}
diejenige
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle {}(n-1)\times (n-1)}
-Matrix, die entsteht, wenn man in
M
{\displaystyle {}M}
die erste Spalte und die
i
{\displaystyle {}i}
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
M
{\displaystyle {}M}
durch
det
M
=
{
a
11
,
falls
n
=
1
,
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
+
1
a
i
1
det
M
i
für
n
≥
2
.
{\displaystyle {}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,}
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen . Für kleine
n
{\displaystyle {}n}
kann man die Determinante einfach ausrechnen.
Als Merkregel für eine
3
×
3
{\displaystyle {}3\times 3}
-Matrix verwendet man die Regel von Sarrus . Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.
Für eine obere Dreiecksmatrix
M
=
(
b
1
∗
⋯
⋯
∗
0
b
2
∗
⋯
∗
⋮
⋱
⋱
⋱
⋮
0
⋯
0
b
n
−
1
∗
0
⋯
⋯
0
b
n
)
{\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,}
ist
det
M
=
b
1
b
2
⋯
b
n
−
1
b
n
.
{\displaystyle {}\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.}
Insbesondere ist für die
Einheitsmatrix
det
E
n
=
1
{\displaystyle {}\det E_{n}=1}
.
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der
Determinante .
◻
{\displaystyle \Box }