Determinante/Leibnizformel/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei also . Die Menge der Permutationen kann man aufspalten, indem man nach sortiert und die bijektive Abbildung

als eine Permutation auf auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion , wobei hier die Menge der Permutationen auf bezeichnet, die auf abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung

da man Transpositionen braucht, um die -te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion

Somit gilt

wobei die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und -ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf der Entwicklung nach der ersten Zeile.

Zur bewiesenen Aussage