Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann sind die Zeilen von linear abhängig und damit sind auch die Zeilen von linear abhängig, woraus folgt. Sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

Wir wollen zeigen, dass dies ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn die Spalten von sind, so ergibt sich , indem man auf die Spalten die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit startet, so ist und daher ist


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