Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung und es sei

$\triangle \colon W^{m}\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

$V^{m}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \triangle \left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{m})\right),$

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn ${}\triangle$ alternierend ist, dass dann auch ${}\triangle \circ \varphi ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei ${}\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

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