Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung und es sei

$\mathrm{△}:W^m⟶K$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

$V^m⟶K,(v_1,\dots ,v_m)⟼\mathrm{△}(\phi (v_1),\dots ,\phi (v_m)),$

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass, wenn $\mathrm{△}$ alternierend ist, dann auch $\mathrm{△}\circ {\phi }^n$ alternierend ist, und dass hiervon bei $\phi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

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