Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}\det M\neq 0\,.$

2. Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.
3. ${}M$ ist invertierbar.

4. ${}\operatorname {rang} \,M=n\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen