Determinante/R/Zusammenhang zu Volumen/Bemerkung

Bei ${}K=\mathbb {R}$ steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im ${}\mathbb {R} ^{n}$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

${}P:={\left\{s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in [0,1]\right\}}\,.$

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

${}\operatorname {vol} \,P=\vert {\det {\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}}\vert \,,$

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.