Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über $n$ bewiesen, wobei es für $n = 1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n \geq 2$ und $M = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = (a_{i j})_{i j}$ . Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r < s$ . Nach Definition ist $det M = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i}$ . Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei $det M_{i} = 0$ für $i \neq r, s$ , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

det M = (- 1)^{r + 1} a_{r 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} a_{s 1} det M_{s},

wobei $a_{r 1} = a_{s 1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z = v_{r} = v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s - 1)$ -te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$ -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s - r - 1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(- 1)^{s - r - 1}$ , also ist $det M_{s} = (- 1)^{s - r - 1} det M_{r}$ . Setzt man dies oben ein, so erhält man

\begin{matrix} det M & = (- 1)^{r + 1} a_{r 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} a_{s 1} det M_{s} \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} (- 1)^{s - r - 1} det M_{r}) \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} + (- 1)^{2 s - r}) det M_{r} \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} + (- 1)^{r}) det M_{r} \\ = 0. \end{matrix}

Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für $n$ ) und aufgrund der Multilinearität ist

\begin{matrix} 0 & = det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{r} + v_{s} \\ ⋮ \\ v_{r} + v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) \\ = det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \\ v_{r} + v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) + det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \\ v_{r} + v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) \\ = det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \end{matrix}) + det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) + det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \end{matrix}) + det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) \\ = det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \end{matrix}) + det (\begin{matrix} ⋮ \\ v_{s} \\ ⋮ \\ v_{r} \\ ⋮ \end{matrix}) . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage