Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über ${}n$ bewiesen, wobei es für ${}n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also ${}n\geq 2$ und ${}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien ${}v_{r}$ und ${}v_{s}$ mit ${}r<s$. Nach Definition ist ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei ${}\det M_{i}=0$ für ${}i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

${}\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$

wobei ${}a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen ${}M_{r}$ und ${}M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile ${}z=v_{r}=v_{s}$ in ${}M_{r}$ als die ${}(s-1)$-te Zeile und in ${}M_{s}$ als die ${}r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${}s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${}M_{r}$ in ${}M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${}(-1)^{s-r-1}$, also ist ${}\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man

${}{\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$

Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für ${}n$) und aufgrund der Multilinearität ist

${}{\begin{aligned}0&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage