Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt direkt aus Fakt.
(2) und (3) werden parallel durch Induktion über bewiesen, wobei es für nichts zu zeigen gibt. Sei also und . Die relevanten Zeilen seien und mit . Nach Definition ist . Nach Induktionsvoraussetzung für (2) sind dabei für , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

Die beiden Matrizen und haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile in als die -te Zeile und in als die -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man in überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (3) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor , also ist . Setzt man dies oben ein, so erhält man


Jetzt beweisen wir (3). Nach Teil (2) und aufgrund der Multilinarität ist


Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur -ten Zeile das -fache der -ten Zeile addiert wird, . Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann