Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann besitzt die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

folgende Eigenschaften.

1. Wenn in ${}M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist ${}\det M=0$.
2. Wenn in ${}M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist ${}\det M=0$. D.h., dass die Determinante alternierend ist.
3. Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor ${}-1$.
4. Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen