Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien

$M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also ${}u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)$ und ${}w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)$. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach ${}n$, wobei der Fall ${}n=1$ klar ist. Für ${}i\neq k$ ist ${}{\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}$ und

${}\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,$

nach Induktionsvoraussetzung. Für ${}i=k$ ist ${}M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}$ und es ist ${}{\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}$. Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage