Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges  ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$  und beliebige ${}n-1$ Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$,  für  ${}u\in K^{n}$  und für  ${}s\in K$  die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

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