Dezimalbruch/Zifferninvertierung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (514,73)=374,15\,.$

2. Ein Dezimalbruch wird genau dann unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet, wenn für alle ${}i\geq 1$ die Bedingung ${}a_{i}=a_{-i}$ erfüllt ist.
3. Das gilt nicht. Betrachten wir

   ${}z=w=0,5\,.$

   Diese Zahl wird unter ${}\varphi$ auf ${}50$ abgebildet und daher ist einerseits

   ${}\varphi (z)+\varphi (w)=50+50=100\,.$

   Andererseits ist

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (1)=1\neq 100\,.$

4. Sei

   ${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

   Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi {\left(10^{k}\cdot z\right)}&=\varphi {\left(10^{k}\cdot {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i+k}\right)}\\&=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i-k}\\&=10^{-k}\cdot {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\right)}\\&={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z).\end{aligned}}$

5. Wenn man ${}\varphi$ hintereinander anwendet, so wird die Vertauschung rückgängig gemacht. Die Abbildung ist also bijektiv und stimmt mit ihrer Umkehrabbildung überein.

Zur gelösten Aufgabe