Beweis
Es sei eine Zifferndarstellung
(oder Dezimalentwicklung)
gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form
kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
-

eine
Cauchy-Folge
ist. Aufgrund der
Vollständigkeit
von
besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz
(für
)

wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als
sind. Nach
Aufgabe
gilt für die Summe rechts die Gleichheit

Bei gegebenem
haben wir also für jedes
die Abschätzung
-

Zu einem beliebig vorgegeben
finden wir zuerst ein
mit
-

und für
gilt dann
-
