Beweis
Es sei eine Zifferndarstellung
(oder Dezimalentwicklung)
gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form
kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
-
![{\displaystyle {}x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64baa106bc1db1ba12e7f90116743199af9b55ba)
eine
Cauchy-Folge
ist. Aufgrund der
Vollständigkeit
von
besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz
(für
)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&=\sum _{i=1}^{m}z_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\\&=\sum _{i=n+1}^{m}z_{i}10^{-i}\\&=10^{-n-1}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}z_{j+n+1}10^{-j}\right)}\\&\leq 10^{-n}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99616f34978a2dd5b84fd2f276c4aaac5308c12)
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als
sind. Nach
Aufgabe
gilt für die Summe rechts die Gleichheit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}&=\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{j}\\&={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m-n}}{1-{\frac {1}{10}}}}\\&\leq {\frac {1}{\,\,{\frac {9}{10}}\,\,}}\\&={\frac {10}{9}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21aa3b0bba8d78660dace7f70cff03ac70140202)
Bei gegebenem
haben wir also für jedes
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}x_{m}-x_{n}\leq 10^{-n}{\frac {10}{9}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72dcc2f70676482ce5ebfc6857a4bc3fa1b307b1)
Zu einem beliebig vorgegeben
finden wir zuerst ein
mit
-
![{\displaystyle {}10^{-n_{0}}{\frac {10}{9}}\leq \epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea921d5fc1315476fbefb223a1a74a51db71248d)
und für
gilt dann
-
![{\displaystyle {}x_{m}-x_{n}\leq \epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050a7e37d831cecd04cce7a3da3283f6f275fc36)