Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form ${}0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$ kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge

${}x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$

eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von ${}\mathbb {R}$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für $m\geq n$)

${}{\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&=\sum _{i=1}^{m}z_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\\&=\sum _{i=n+1}^{m}z_{i}10^{-i}\\&=10^{-n-1}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}z_{j+n+1}10^{-j}\right)}\\&\leq 10^{-n}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right)},\end{aligned}}$

wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als ${}10$ sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}&=\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{j}\\&={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m-n}}{1-{\frac {1}{10}}}}\\&\leq {\frac {1}{\,\,{\frac {9}{10}}\,\,}}\\&={\frac {10}{9}}.\end{aligned}}$

Bei gegebenem ${}n$ haben wir also für jedes ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}x_{m}-x_{n}\leq 10^{-n}{\frac {10}{9}}\,.$

Zu einem beliebig vorgegeben ${}\epsilon >0$ finden wir zuerst ein ${}n_{0}$ mit

${}10^{-n_{0}}{\frac {10}{9}}\leq \epsilon \,$

und für ${}m\geq n\geq n_{0}$ gilt dann

${}x_{m}-x_{n}\leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage