Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form $0,z_1{z}_2{z}_3\dots$ kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge

$x_n=\sum _{i=1}^n{z}_{i}10^{-i}$

eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $ℝ$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für $m\ge n$)

$\begin{array}{cc}{x}_m-x_n& =\sum _{i=1}^m{z}_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^n{z}_{i}10^{-i}\\ & =\sum _{i=n+1}^m{z}_{i}10^{-i}\\ & =10^{-n-1}\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}{z}_{j+n+1}10^{-j}\right)\\ & \le 10^{-n}\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right),\end{array}$

wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als $10$ sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit

$\begin{array}{cc}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}& =\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left(\frac{1}{10}\right)}^j\\ & =\frac{1-{\left(\frac{1}{10}\right)}^{m-n}}{1-\frac{1}{10}}\\ & \le \frac{1}{\frac{9}{10}}\\ & =\frac{10}{9}.\end{array}$

Bei gegebenem $n$ haben wir also für jedes  $m\ge n$  die Abschätzung

$x_m-x_n\le 10^{-n}\frac{10}{9}.$

Zu einem beliebig vorgegebenen  $ϵ>0$  finden wir zuerst ein $n_0$ mit

$10^{-n_0}\frac{10}{9}\le ϵ$

und für  $m\ge n\ge n_0$  gilt dann

$x_m-x_n\le ϵ.$

Zur bewiesenen Aussage