Dezimalentwicklung/Funktionenfolge/Aufgabe/Lösung

1. Es ist ${}f_{0}(x)=11$, ${}f_{1}(x)=11,7$, ${}f_{2}(x)=11,79$.
2. ${}\,$
3. Da ${}\left\lfloor nx\right\rfloor$ ganzzahlig ist, bestht das Bild stets nur aus rationalen Zahlen und daher können die Funktionen nicht stetig sein (Zwischenwertsatz).
4. Es gelten die Abschätzungen

   ${}u-1\leq \left\lfloor u\right\rfloor \leq u\,.$

   Daher gilt

   ${}x-{\frac {1}{n}}={\frac {nx-1}{n}}\leq {\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\leq {\frac {nx}{n}}=x\,.$

   Für jedes ${}x$ zeigt nun das Quetschkriterium, dass

   ${}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\,$

   gegen ${}x$ konvergiert. Die Grenzfunktion ist also die Identität.

5. Die Abschätzung aus Teil (4) zeigt direkt, dass auch gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe