Dezimalentwicklung/Periodenlänge 3/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .

  2. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .

  3. Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung

    mit und besitzt. Sei dazu . Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

    vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

    Sei umgekehrt ein Bruch der Form

    mit und gegeben, wobei in die Primfaktoren und nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

    besitzen die Periodenlänge oder .

  4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) und schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir annehmen. Daher ist

    und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .

  5. Es liegt kein Unterring vor, da und beide zu gehören, ihr Produkt, also , hat aber nicht die angegebene Bruchdarstellung und gehört nicht zu . ( besitzt die Periodenlänge ).