Dezimalentwicklung/Periodenlänge 3/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}2$ und somit gehört ${}{\frac {1}{11}}$ nicht zu ${}M$.

2. Es ist

   ${}{\frac {1}{37}}=0,{\overline {027}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}3$ und somit gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$.

3. Ein gekürzter Bruch ${}a/b$ gehört genau dann zu ${}M$, wenn ${}b$ die Primfaktorzerlegung

   ${}b=2^{i}5^{j}3^{k}37^{\ell }\,$

   mit ${}k\leq 3$ und ${}\ell \leq 1$ besitzt. Es sei dazu ${}z\in M$. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und ${}x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}3$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge ${}1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

   ${}{\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{n{\text{ Nullen}}}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 0,0\ldots 0{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot 0,{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot {\frac {1}{909}}\end{aligned}}$

   vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal ${}999=27\cdot 37=3^{3}\cdot 37$ im Nenner geschrieben werden. Das Element ${}x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

   Es sei umgekehrt ein Bruch der Form

   ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}\cdot 37^{\ell }}}$

   mit ${}k\leq 3$ und ${}\ell \leq 1$ gegeben, wobei in ${}a$ die Primfaktoren ${}3$ und ${}37$ nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

   ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{27}},\,{\frac {1}{37}},\,{\frac {1}{111}},\,{\frac {1}{333}},\,{\frac {1}{999}}$

   besitzen die Periodenlänge ${}1$ oder ${}3$.

4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu ${}M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus ${}M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) ${}x={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}$ und ${}y={\frac {d}{10^{j}\cdot 27\cdot 37}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir ${}i=j$ annehmen. Daher ist

   ${}x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}\,$

   und dies gehört wieder zu ${}M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$.

5. Es liegt kein Unterring vor, da ${}{\frac {1}{9}}$ und ${}{\frac {1}{9}}$ beide zu ${}M$ gehören, ihr Produkt, also ${}{\frac {1}{81}}$, hat aber nicht die angegebene Bruchdarstellung und gehört nicht zu ${}M$. (${}{\frac {1}{81}}=0,{\overline {012345679}}$ besitzt die Periodenlänge ${}9$).

Zur gelösten Aufgabe