Dezimalentwicklung/Stelle fixiert oder endlich/Abschluss/Aufgabe/Lösung

1. Ein Element ${}x\in S_{k}$ hat im Dezimalsystem die Form

   ${}\sum _{j=-k}^{m}z_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=0}^{m+k}z_{j}10^{j}\right)}10^{-k}\,$

   Die Menge ${}S_{k}$ besteht also aus allen reellen Zahlen, die von der Form

   ${}x=n{\frac {1}{10^{k}}}\,$

   mit einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ sind. Der Abstand von zwei solchen verschiedenen Zahlen ist also zumindest ${}10^{-k}$. Daher gibt es zu jedem Punkt ${}x\in S_{k}$ eine offene Intervallumgebung, in der nur dieser Punkt liegt. Somit ist diese Menge abgeschlossen.

2. Der Abschluss der Menge ${}T$ ist ganz ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$. Eine jede reelle Zahl ${}y\geq 0$ besitzt eine Dezimalentwicklung

   ${}y=\sum _{j=-\infty }^{m}z_{j}10^{j}\,.$

   Hierbei ist ${}y$ der Grenzwert der Folge

   ${}x_{n}=\sum _{j=-n}^{m}z_{j}10^{j}\,.$

   Dabei besitzt ${}x_{n}$ eine abbrechende Dezimalentwicklung (mit höchstens ${}n$ Nachkommastellen) und gehört somit zu ${}T$.

Zur gelösten Aufgabe