Diagonalisierbare Gruppe/Charakterisierung mit Gruppenring/Fakt/Beweis

Beweis

Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe ${}D$ gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow D.$

Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata

$\operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[\mathbb {Z} ^{n}]\right)}\cong T,$

die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe ${}G\subseteq T=\operatorname {Spek} {\left(K[\mathbb {Z} ^{n}]\right)}$ gegeben. Die Monome ${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\,\nu \in \mathbb {Z} ^{n}$, sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf ${}G$. Es sei ${}f=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ ein Polynom, das auf ${}G$ verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ${}G$ ergeben, und verwenden die Menge

$\Lambda ={\left\{\nu \in \mathbb {Z} ^{n}\mid X^{\nu }{\text{ ist trivial auf }}G\right\}},$

die eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ ist. Die Menge der Charaktere ${}X^{\mu }$, die auf ${}G$ übereinstimmen, kann man als (${}\mu _{0}$ sei ein Repräsentant für ${}[\mu ]\in \mathbb {Z} ^{n}/\Lambda$)

$X^{\mu _{0}}X^{\lambda },\,\lambda \in \Lambda ,$

schreiben, und man erhält

${}{\begin{aligned}f&=\sum _{X^{\mu }{|}G}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }\right)}X^{\mu }\\&=\sum _{X^{\mu }{|}G}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }\right)}X^{\mu _{0}}.\end{aligned}}$

Hier wird also summiert über (in ${}G$) verschiedene Charaktere. Nach dem Lemma von Dedekind sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt

${}\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }=0\,$

auf ${}G$ für jedes ${}\mu _{0}$. Wegen ${}1\in G$ ist ${}\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }=0$ und daher folgt aus

$\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }=\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }(X^{\lambda }-1)+\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda },$

dass ${}f$ in dem von

$X^{\lambda }-1,\,X^{\lambda }=1{\text{ auf }}G$

erzeugten Ideal in ${}K[\mathbb {Z} ^{n}]$ liegt. Damit wird das Ideal, das ${}G$ beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat

${}G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n},X_{n}^{-1}]/(X^{\lambda }-1:\,\lambda \in \Lambda )\right)}\,.$

Die Untergruppe ${}\Lambda$ definiert die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow \Lambda \longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow D\longrightarrow 0$

und ${}D$ beschreibt das Gruppenschema ${}G$, d.h. ${}G\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}$. Es ist ja

${}G(K)={\left\{\mathbb {Z} ^{n}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{\times }\mid \psi {|}_{\Lambda }=1_{K}\right\}}\cong \left\{D{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K^{\times }\right\}=D^{\vee }\,.$

Zur bewiesenen Aussage