Die Quadratur des Kreises/Geometrische Möglichkeiten/Textabschnitt

Satz

Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Beweis

Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius ${}1$ quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge ${}{\sqrt {\pi }}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Fakt muss aber eine konstruierbare Zahl algebraisch sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber ${}\pi$ und damit auch ${}{\sqrt {\pi }}$ transzendent.

$\Box$

Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl ${}\pi$ zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.

Beispiel

Die einfachste Art, die Zahl ${}\pi$ geometrisch zu konstruieren, ist die Abrollmethode, bei der man einen Kreis mit Durchmesser ${}1$ einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also ${}\pi$.

Beispiel

Man kann die Zahl ${}\pi$ auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.

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  Wir starten mit einem Einheitskreis,
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  den wir als Grundfläche
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  eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen.
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  Das füllen wir randvoll mit Wasser auf.
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  Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche ${}1\times 1$ und Höhe 4.
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  Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird
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  in das zweite Schwimmbecken gegossen.
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  Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt ${}\pi$.