Beweis
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit seien
und
,
also
und
.
Dann ist
-

und somit
-
![{\displaystyle {}[(ad+bc,bd)]=[(a'd'+b'c',b'd')]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8434deeb1f3314b95277add9dea42a78fd17bc)
Die Kommutativität und die Eigenschaft, dass
das neutrale Element der Verknüpfung ist, folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis der Assoziativität seien
gegeben. Es ist dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\ [(a,b)]+{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)]+[(cf+de,df)]\\&=[(bcf+bde+adf,bdf)]\\&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&={\left([(a,b)]+[(c,d)]\right)}+[(e,f)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96564424670b9263b1ac05aa5032c2e7f37d647)
Ferner ist
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]+[(-a,b)]=[ab-ab,b^{2}]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5782492d482f47a685841174e7e97798e19e48)