Beweis
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit seien
![{\displaystyle {}[(a,b)]=[(a',b')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8209f45a1f6a06ecfc9208e0b7f0003b817107b7)
und
![{\displaystyle {}[(c,d)]=[(c',d')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db12e4064519838da28e989dc1d3aa34d4b15e5)
,
also
und
.
Dann ist
-
und somit
-
![{\displaystyle {}[(ad+bc,bd)]=[(a'd'+b'c',b'd')]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8434deeb1f3314b95277add9dea42a78fd17bc)
Die Kommutativität und die Eigenschaft, dass ![{\displaystyle {}[(0,1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbcfba51167f69412ad00f1d9f60283d0c1c219)
das neutrale Element der Verknüpfung ist, folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis der Assoziativität seien ![{\displaystyle {}[(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f812b3de2f2439c6e1a9894ec88c850b19519c)
gegeben. Es ist dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\ [(a,b)]+{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)]+[(cf+de,df)]\\&=[(bcf+bde+adf,bdf)]\\&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&={\left([(a,b)]+[(c,d)]\right)}+[(e,f)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96564424670b9263b1ac05aa5032c2e7f37d647)
Ferner ist
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]+[(-a,b)]=[ab-ab,b^{2}]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5782492d482f47a685841174e7e97798e19e48)
