Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle {}(a,b)\sim (c,d)} und ( c , d ) ∼ ( e , f ) {\displaystyle {}(c,d)\sim (e,f)} . Dies bedeutet a d = b c {\displaystyle {}ad=bc} bzw. c f = e d {\displaystyle {}cf=ed} . Somit ist
Wegen d ≠ 0 {\displaystyle {}d\neq 0} ergibt die Kürzungsregel in Z {\displaystyle {}\mathbb {Z} } die Gleichheit
also
und
.
Dies bedeutet
bzw.
.
Somit ist
ergibt die Kürzungsregel in 
die Gleichheit
