Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe/Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}(a,b)\sim (c,d)$ und ${}(c,d)\sim (e,f)$. Dies bedeutet ${}ad=bc$ bzw. ${}cf=ed$. Somit ist

${}adf=bcf=bde\,.$

Wegen ${}d\neq 0$ ergibt die Kürzungsregel in ${}\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}af=eb\,,$

also

${}(a,b)\sim (e,f)$.

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